Preface
Arrayed Waveguide Gratings Design and Simulation这篇设计文档主要包含三个部分：
第一部分：对基于SOI材料的AWG做了简单的介绍。
第二部分：介绍了AWG的基本原理及设计流程。在AWG的设计中，引入了三个假设：
- 材料参数取室温下中心波长的TE基模的值；
- 罗兰圆的直径远大于输入/输出/阵列波导在输入/输出平板波导处的芯-芯距离；
- 忽略弯曲波导与直波导的有效折射率、群折射率的差异；
第三部分：使用本软件对AWG进行仿真。我们首先将阵列波导光栅分为输入平板波导区域和输出平板波导区域两个部分进行仿真，这样做可以使仿真空间大大减少，从而减少仿真时间。在分开仿真的结果符合设计要求的前提下再进行AWG的全仿真，以获得更为准确的结果。
1 Arrayed Waveguide Gratings
基于硅纳米线的阵列波导光栅具有较高的折射率差，可以将光限制在更小的波导内，在相同的弯曲损耗下可减小波导的弯曲半径，在相同的串扰下可减小阵列波导的间隔，从而减小器件的尺寸，有利于器件的集成。下图为阵列波导光栅的结构示意图。
2 Theory and Design of AWG
2.1 AWG Principle
AWG是由输入/输出波导、输入/输出平板波导和一系列的阵列波导组成。当一束光进入中心输入波导后，在输入平板波导内发生衍射，等相位到达阵列波导的输入端并耦合进阵列波导，经过等长度差的阵列波导，其传输光的相位依次发生偏移，阵列波导区域每一根波导的出射光在输出平板波导内发生衍射现象，而不同波导之间的出射光发生干涉现象，最终不同波长的光聚焦在不同的输出波导位置，耦合进输出波导输出，实现解复用功能。Figure 2为AWG的结构示意图，结构设计参考文献[1]。
2.2 AWG Design
一束波长为\lambdaλ的光从第pp根输入波导输入，经过第ii根阵列波导，到达第qq根输出波导，相位延迟为： $$\phi=k_0n_e^sl_{p,i}+k_0n_e^bl^b+k_0n_e^{st}l^{st}+k_0n_e^sl_{i,q} \tag{2.1}$$
其中，$k_0$为真空中的波数；$n_e^s$、$n_e^b$、$n_e^{st}$分别为平板波导、弯曲波导和直波导的有效折射率；$l_{p,i}$表示第$p$根输入波导到第$i$根阵列波导输入端的几何路径；$l^b$和$l^{st}$分别为弯曲波导与直波导的几何长度；$l_{i,q}$表示第$i$根阵列波导输出端到第$q$根输出波导的几何路径。
由式(2.1)得，经过相邻阵列波导的两束光的相位差为： $$\Delta\phi = k_0n_e^s\Delta{L_{in}} + k_0n_e^b\Delta{L^b} + k_0n_e^{st}\Delta{L^{st}} + k_0n_e^s\Delta{L_{out}} \tag{2.2}$$
其中，$\Delta{L_{in}}$为输入波导到两相邻阵列波导输入端的几何路径差；$\Delta{L^b}$为两相邻阵列波导中弯曲波导的几何长度差；$\Delta{L^{st}}$为两相邻阵列波导中直波导的几何长度差；$\Delta{L_{out}}$为两相邻阵列波导的输出端到输出波导的几何路径差。两束光发生相长干涉的相位差条件为： $$\Delta\phi = 2\pi{m} \tag{2.3}$$
其中$m$为AWG的衍射级数。将式(2.3)代入式(2.2)得： $$n_e^s\Delta{L_{in}} + n_e^b\Delta{L^b} + n_e^{st}\Delta{L^{st}} + n_e^s\Delta{L_{out}} = m\lambda \tag{2.4}$$
对于中心波长有$\Delta{L_{in}}= \Delta{L_{out}}$，则由式(2.4)可得： $$n_e^b\Delta{L^b} + n_e^{st}\Delta{L^{st}} = m\lambda \tag{2.5}$$
若忽略弯曲波导与直波导的有效折射率的差异，即$n_e^b=n_e^{st}=n_e^a$，则式(2.4)可化为： $$n_e^a\Delta{L^a} = m\lambda \tag{2.6}$$ 式(2.6)即为AWG中心波长所满足的光栅方程。
对式(2.4)进行微分得：$$\frac{\partial{n_e^s}}{\partial\lambda}\Delta{L_{in}} + \frac{\partial{n_e^b}}{\partial\lambda}\Delta{L^b} + \frac{\partial{n_e^{st}}}{\partial\lambda}\Delta{L^{st}} + \frac{\partial{n_e^s}}{\partial\lambda}\Delta{L_{out}} + n_e^s\frac{\partial\Delta{L_{out}}}{\partial\lambda} = m \tag{2.7}$$$$n_e^s\frac{\partial\Delta{L_{out}}}{\partial\lambda} = m\frac{n_g^s\Delta{L_{in}} + n_g^b\Delta{L^b} + n_g^{st}\Delta{L^{st}} + n_g^s\Delta{L_{out}}}{n_e^s\Delta{L_{in}} + n_e^b\Delta{L^b} + n_e^{st}\Delta{L^{st}} + n_e^s\Delta{L_{out}}} = M \tag{2.8}$$
其中$M$为修正的衍射级数，$n_g^s$、$n_g^b$、$n_g^{st}$分别为平板波导、弯曲波导与直波导的群折射率，群折射率表达式为：$$n_g = n_e - \lambda \frac{\partial{n_e}} {\partial \lambda \tag{2.9}}$$
对于中心波长，$M$可化为：$$M = m\frac{n_g^b\Delta{L^b} + n_g^{st}\Delta{L^{st}}}{n_e^b\Delta{L^b} + n_e^{st}\Delta{L^{st}}} \tag{2.10}$$
忽略弯曲波导与直波导的有效折射率的差异，式(2.10)可化为：$$M = m\frac{n_g^a}{n_e^a} \tag{2.11}$$
在式(2.8)引入$M$后，AWG的光栅方程可由式(2.5)化简为：$$n_g^b\Delta{L^b} + n_g^{st}\Delta{L^{st}} = M\lambda \tag{2.12}$$
式(2.8)也可改写为：$$\frac{\partial\Delta{L_{out}}}{\partial\lambda} = \frac{M}{n_e^s} \tag{2.13}$$
一般地，当$L_f≫d_a$（$L_f$为罗兰圆的直径，$d_a$为相邻阵列波导的中心在输入/输出平板波导处的距离）时，有下面的近似表达式成立。$$\Delta{L_{in}} \approx d_asin\Delta\theta_{in},\Delta{L_{out}} \approx d_asin\Delta\theta_{out} \tag{2.14}$$
由式(2.14)有$cos(\Delta\theta_{out}) \approx 1$，且$$\Delta\theta{out} \approx \frac{d_{out}}{L_f} \tag{2.15}$$
其中$d_{out}$是各输出波导在输出平板波导处的芯-芯距离，一般取$d_{in}=d_{out}=d_{io}$，下标$in$和下标$out$分别表示输入波导和输出波导。将式(2.14)代入式(2.13)可得AWG的角色散为：$$\frac{\partial\theta_{out}}{\partial\lambda} \approx \frac{M}{d_an_e^s} \tag{2.16}$$
将式(2.15)代入式(2.16)可得：$$L_f \approx \frac{d_ad_{io}n_e^s}{M\Delta\lambda} \tag{2.17}$$其中，$\Delta\lambda$为信道间隔。
对于从同一输入波导输入的多波长的光，波长为λ的光束（第$m$衍射级）与波长为$\lambda+\Delta\lambda_{FSR}$的光束（第$m-1$衍射级）可能聚焦于同一输出波导，这些波长之间的间隔$\Delta\lambda_{FSR}$称作自由频谱宽度。$$\Delta\lambda_{FSR} = N_{ch}\Delta\lambda \tag{2.18}$$ 其中$N_{ch}$为信道数。当波长从$\lambda$变为$\lambda+\Delta\lambda_{FSR}$时，波导的折射率从$n_e^i (i=s,b,st)$变为$n_e^i+\Delta{n_e^i}$，则光栅方程变为：$$(n_e^s+\Delta{n_e^s})\Delta{L_{in}} + (n_e^b+\Delta{n_e^b})\Delta{L^b} + (n_e^{st}+\Delta{n_e^{st}})\Delta{L^{st}} + (n_e^s+\Delta{n_e^s})\Delta{L_{out}}$$$$= (m-1)(\lambda+\Delta\lambda_{FSR}) \tag{2.19}$$
结合泰勒级数的一阶近似，由式(2.4)和式(2.19)得：$$\Delta\lambda_{FSR} = \frac{\lambda}{m-(\frac{\partial{n_e^s}}{\partial\lambda}\Delta{L_{in}}+\frac{\partial{n_e^b}}{\partial\lambda}\Delta{L^b}+\frac{\partial{n_e^{st}}}{\partial\lambda}\Delta{L^{st}}+\frac{\partial{n_e^s}}{\partial\lambda}\Delta{L_{out}})-1} \tag{2.20}$$引入$M$后，式(2.20)可写成：$$\Delta\lambda_{FSR} = \frac{\lambda}{M-1} \tag{2.21}$$
2.2.2 AWG Design Process
在AWG的设计中，引入了三个假设：
- 材料参数取室温下中心波长的TE基模的值；
- 罗兰圆的直径远大于输入/输出/阵列波导在输入/输出平板波导处的芯-芯距离；
- 忽略弯曲波导与直波导的有效折射率、群折射率的差异；
AWG设计流程如下：
1. 给定AWG的基本性能参数：中心波长$λ_c$、信道间隔$\Delta\lambda$、信道数$N_{ch}$；
2. 确定平板波导的有效折射率$n_e^s$；确定阵列波导的有效折射率$n_e^a$和群折射率$n_g^a$（这里忽略了弯曲波导与直波导的有效折射率、群折射率的差异）；
3. 确定输入/输出波导的间距$d_{io}$和阵列波导的间距$d_a$；
4. 由式$\Delta\lambda_{FSR} ≥ N_{ch} \Delta\lambda$得到自由频谱宽度$\Delta\lambda_{FSR}$；
5. 由式$\Delta\lambda_{FSR} = \frac{\lambda} {M - 1}$得到修正的衍射级数$M$；
6. 由式$m = \frac{M n_e^a} {n_g^a}$求得衍射级数$m$（$m$取整数）；
7. 由$L_f = \frac{d_a d_{out} n_e^s} {M\Delta\lambda}$得到罗兰圆的直径$L_f$；
8. 由式$dL = \frac{m \lambda_c} {n_e^a}$求得相邻阵列波导的长度差$dL(dL = ∆L^b + ∆L^{st})$；
9. 由 $(N_a)_{min} = \frac{2\theta_G} {\Delta\theta_a}$确定最小阵列波导数$(N_a)_{min}$，其中$\theta_G = 1.5 \theta_0$，$\theta_0 = \frac{\lambda} {\pi w_0 n_e^s}$。
设计流程图如下所示：
3 AWG Simulation
3.1 AWG Simulation Parameters
AWG的基本参数由文献[1]得到，其他参数按照上述设计流程得到。AWG的参数如下表所示。
表1 AWG结构参数| 物理量 | 符号 | 参数 |
|---|---|---|
| 中心波长 | $\lambda_c$ | 1.55um |
| 信道间隔 | $\Delta\lambda$ | 8nm |
| 自由频谱宽度 | $\Delta\lambda_{FSR}$ | 64nm |
| 平板波导有效折射率 | $n_e^s$ | 2.952 |
| 矩形波导有效折射率 | $n_e^a$ | 2.725 |
| 矩形波导群折射率 | $n_g^a$ | 3.756 |
| 矩形波导宽度 | $w$ | 0.5um |
| 输入波导数 | $N_{in}$ | 1 |
| 输出波导数 | $N_{out}$ | 3 |
| 阵列波导数 | $N_a$ | 25 |
| 平板波导处各输入/输出/阵列波导的芯一芯距离 | $d_{in},d_{out},d_a$ | 1.5um |
| 连接阵列波导与平板波导的锥形渐变波导在光栅圆的宽度 | $w_t^a$ | 1.5um |
| 连接输入/输出波导与平板波导的锥形渐变波导在罗兰圆的宽度 | $w_t^{in},w_t^{out}$ | 1.5um |
| 锥形渐变波导的长度 | $l_{taper}$ | 10um |
| 输入/输出波导的长度 | $l_{io}$ | 5um |
| 弯曲波导的弯曲半径 | $r$ | 5um |
| 最短阵列波导中的直波导的长 | $l_{min}$ | 0um |
| 修正的衍射级数（公式计算得到） | $M$ | 25.2 |
| 衍射级数（公式计算得到） | $m$ | 18 |
| 相邻阵列波导长度差（公式计算得到） | $dL$ | 10.24um |
| 罗兰圆直径（公式计算得到） | $L_f$ | 32.92um |
3.2 Simulation and Results of AWG
有限差分时域（FDTD）技术是模拟光在纳米级组件中传播最通用、最准确的方法之一。但是，当结构尺寸较大时，3D-FDTD仿真会耗费大量的仿真时间和占用大量的计算机资源。而2.5D-FDTD使用了垂直方向材料的有效折射率，将3D问题转化为2D问题，因此2.5D-FDTD仿真仅需要2D-FDTD的仿真时间和内存，但精确度和3D-FDTD的精确度相当，常用来仿真大尺寸的结构。AWG分开仿真和AWG全图仿真均使用了2.5D-FDTD来进行仿真（文献[1]为2D-FDTD仿真）。
3.2.1 Separate Simulation of AWG
对于AWG来说，其结构复杂且尺寸较大，因此需要大量的仿真时间和较大的计算机资源。由于阵列波导部分只包含稳定传输的波导结构，可以认为光在阵列波导中传输时，光场的模式不发生改变，只有振幅和相位发生改变。因此，可以将AWG分为输入平板波导区域（如Figure 4 所示）和输出平板波导区域（如Figure 7所示）进行仿真，阵列波导部分通过设置模式源的脉冲延迟来代替阵列波导长度差引起的相位延迟，这样大大减少了仿真区域，从而减少了仿真时间。对于设计的AWG结构，可以先通过分开仿真来确定设计参数的可行性，然后再进行全图仿真得到更准确的结果。下面为分开仿真过程。
AWG输入平板波导区域仿真
进行输入平板波导区域的仿真，目的是通过监视器得到各阵列波导输入端的透过率（监视器位于各弯曲波导与taper的交界处，mdoe::expansion与taper相垂直），然后将各阵列波导输入端的透过率（T_forward）作为的振幅输入到输出平板区域对应阵列波导上的模式源（当光从中心输入波导输入时，传输光到各monitor的光程相同，即在各monitor处的相位相同，因此不用考虑传输光在该仿真区域的相位变化）。输入平板波导区域仿真结构如下所示：
输入平板波导区域仿真设置如下：
表2 AWG输入平板波导区域仿真设置| Name | Settings |
|---|---|
| Simulation-Dimension | 2.5D |
| Simulation-Polarization | TE |
| Simulation-Waveguide Dispersion | Narrow bandwidth |
| Simulation-Background Material | silica(neff=1.45) |
| Simulation-Simulation Time | 8ps |
| Simulation-Mesh Type | uniform |
| Simulation-Mesh Refinement | staircase |
| Simulation-Mesh Size | dz:dx:dy=0.025um:0.025um:0.01um |
| Mode Source-Central Wavelength | 1.55um |
| Mode Source-Wavelength Span | 0.2um |
仿真结果：
在仿真区域添加底面monitor，得到波长为1.55um处的场强分布情况，如Figure 5所示。在图中可以看出，光从输入波导耦合到输入平板波导区域并扩束，自由传播到罗兰圆的边缘，随后耦合进阵列波导。Figure 6为各阵列波导上的monitor::mode expansion得到的T_forward参数。通过以下两图，可以看到大部分能量耦合进了阵列波导。
AWG输出平板波导区域仿真
输出平板波导区域的仿真。将模式源置于各弯曲波导与taper的交界处，与taper成相同的角度入射。光源的振幅为输入平板区域仿真得到的各阵列波导上的传输T_forward。对于各阵列波导的相位延迟，我们可以通过设置模式源的脉冲延迟来代替，其设置按如下公式：$$\Delta{t} = \frac{dLn_g^a}{c}$$ 其中，c为真空中的光速。输出平板波导区域仿真结构如下所示：
AWG输出平板波导区域仿真设置如下：
表3 AWG输出平板波导区域仿真设置| Name | Settings |
|---|---|
| Simulation-Dimension | 2.5D |
| Simulation-Polarization | TE |
| Simulation-Waveguide Dispersion | Narrow bandwidth |
| Simulation-Background Material | silica(neff=1.45) |
| Simulation-Simulation Time | 8ps |
| Simulation-Mesh Type | uniform |
| Simulation-Mesh Refinement | staircase |
| Simulation-Mesh Size | dz:dx:dy=0.025um:0.025um:0.01um |
| Mode Source-Central Wavelength | 1.55um |
| Mode Source-Wavelength Span | 0.2um |
仿真结果：
Figure 8为波长1.538um处的底面场图，从图中可以看出，多个光源的光从阵列波导中输入，耦合进FPR2区域并发生衍射，最终在输出波导的边缘汇聚成一束较强的光，耦合进输出波导。在最强的衍射光两侧，还分别存在着两束较弱的衍射光，即衍射级次为$m\pm1$的衍射光。
Figure 9和Figure 10为AWG输出频谱响应图。Figure 9为输出波导监视器中的T_backward参数，即相当于监视器在输出波导无限远处接收的传输。Figure 10为分贝形式的T_backward。从图中可以看出，信道间隔为8nm，与设计值相符；自由频谱范围为64nm，与设计值相符；插入损耗为1.25dB，串扰低于-30dB。
3.2.2 Full simulation of AWG
AWG仿真结构图
AWG仿真设置如下：
表4 AWG仿真区域设置| Name | Settings |
|---|---|
| Simulation-Dimension | 2.5D |
| Simulation-Polarization | TE |
| Simulation-Waveguide Dispersion | Narrow bandwidth |
| Simulation-Background Material | silica(neff=1.45) |
| Simulation-Simulation Time | 8ps |
| Simulation-Mesh Type | uniform |
| Simulation-Mesh Refinement | staircase |
| Simulation-Mesh Size | dz:dx:dy=0.025um:0.025um:0.01um |
| Mode Source-Central Wavelength | 1.55um |
| Mode Source-Wavelength Span | 0.2um |
AWG仿真结果
Figure 12和Figure 13为2.5D-FDTD仿真的AWG频谱响应图。Figure 12为输出波导监视器中的T_backward参数，即相当于监视器在输出波导无限远处接收的传输。Figure 13为T_backward的分贝形式。从图中可以看出，信道间隔为9nm，与设计值8nm相差1nm，自由频谱宽度为67nm，与设计值64nm相差3nm。插入损耗为2.5dB，串扰小于-24dB。
AWG全图仿真与文献[1]对比
文献[1]中1x3AWG的频谱响应图如Figure 16所示，从图中可以看出，信道间隔约为9nm，与我们仿真的结果相符；自由频谱范围约为71nm，与设计值相差7nm，我们仿真的结果与设计值相差3nm；插入损耗约为2.5dB，与我们的仿真结果相符；串扰约为-20dB，我们软件仿真的AWG串扰约为-24dB，串扰水平与我们仿真结果相差4dB。总的来说，我们软件仿真的结果优于文献[1]仿真的结果。
3.3 Summary
对于信道间隔、自由频谱范围，我们软件分开仿真结果与全图仿真结果相近；对于插入损耗，分开仿真的插入损耗低于全仿真的插入损耗，这是由于分开仿真的损耗没有包含光在阵列波导中传播的损耗；对于串扰，全仿真的串扰比分开仿真的串扰高6dB。
我们参考文献[1]设计的AWG的仿真结果与文献[1]的仿真结果也较为接近。对于信道间隔、自由频谱范围和插入损耗，两者的结果比较接近；对于串扰水平，我们的仿真结果要优于文献[1]的结果。
